Lemme de Borel-Cantelli 1 :

• \((A_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de \(\mathcal A\)
• \(\sum^{+\infty}_{n=0}{\Bbb P}(A_n)\lt +\infty\)

$$\Huge\iff$$

• \({\Bbb P}(\limsup A_n)=0\)

Lemme de Borel-Cantelli 2 :

• \((A_n)_{n\in\Bbb N}\) est une suite de \(\mathcal A\)
• \(\sum^{+\infty}_{n=0}{\Bbb P}(A_n)=+\infty\)
• les \(A_n\) sont indépendants

$$\Huge\iff$$

• \({\Bbb P}(\limsup A_n)=1\)

Démonstration du lemme de Borel-Cantelli (1)

L'espérance de la somme des indicatrices est égale à la somme des probabilités, qui est finie.

Cela nous donne directement que la somme des indicatrices est presque-sûrement finie.

Démonstration du lemme de Borel-Cantelli (1)

On approche la probabilité de l'intersection des complémentaires en partant d'un certain rang par une limite décroissante, ce qui fait tendre vers \(0\).

Par indépendance, la probabilité de l'intersection est égale au produit des probabilités.

Cette probabilité reste nulle lorsqu'on fait l'union sur tous les rangs de départ.

On a le résultat en passant au complémentaire

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la définition de \(\limsup A_n\).
Verso: $$\limsup A_n=\bigcap_{k\in{\Bbb N}}\bigcup_{n\geqslant k}A_n=\sum^{+\infty}_{n=1}\Bbb 1_{A_n}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner la définition de \(\liminf A_n\).
Verso: $$\liminf A_n=\bigcup_{k\in{\Bbb N}}\bigcap_{n\geqslant k}A_n$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un contre-exemple du lemme de Borel-Cantelli 2 où on n'a pas l'indépendance.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démonstration du lemme de Borel-Cantelli 1.

Il suffit de réécrire \(\limsup A_n\) comme somme d'indicatrices, ce qui fait que la somme des probas correspond à son espérance.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Comment obtenir \({\Bbb P}(\liminf_nA_n)\) à l'aide du lemme de Borel-Cantelli ?
Verso: On utilise la formule :$$\begin{align}(\liminf A_n)^C&=\limsup (A_n^C)\\ {\Bbb P}(\liminf A_n)&=1-{\Bbb P}(\limsup (A_n^C))\end{align}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que représente \(\limsup_nA_n\) ?
Verso: C'est l'ensemble des aléas qui appartiennent à une infinité de \(A_n\).
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que représente \(\liminf_nA_n\) ?
Verso: C'est l'ensemble des aléas qui appartiennent à tous les \(A_n\), sauf éventuellement un nombre fini d'entre eux.
Bonus:
Carte inversée ?:
END

Exercices

On a \({\Bbb P}(T_k\geqslant1)=\frac1k\) et \({\Bbb P}(T_k\geqslant1+\varepsilon)=\frac1{k^{1+\varepsilon} }\).

On a une inégalité en appliquant le Lemme de Borel-Cantelli 2 sur \(\{T_k\geqslant1\}\).

Pour avoir la borne supérieure, il faut tout d'abord appliquer le Lemme de Borel-Cantelli 1 à \(\{T_k\geqslant1+\varepsilon\}\).

Par décroissance des événements, on obtient bien la deuxième inégalité.